Drama o dračí sluji

Milé děti, asi byste rádi věděly, jak to probíhá ve vektorovém prostoru definovaném v ulici Trojanově na pomezí zimního a letního semestru v prvním ročníku. Nuže, poslouchejte tedy příběh, který se odehrál v úterý 3. února léta Páně 2009. Nutno podotknout, že vypravěč této příhody se v okamžiku zapisování nachází na Strahově večer téhož dne a tudíž je to vyprávění značně sentimentální.

Kdo z vás již alespoň slyšel všemožné historky o nezvladatelné zkoušce z Lineární algebry plus u draka asistenta Pytlíčka, ví jistě své a nebudeme zakrývat, že většina těchto bájí bájemi není, věřte nebo ne, je to pravda. Krutá. Jako na popravišti.

Kolem osmé hodiny ranní se sedm statečných drakobijců sešlo ve sluji číslo 209, drak Pytlíček se dostavil vzápětí. Rozdal zadání, jež nám mělo zlomit vaz. Tři úkoly, tři hlavy k setnutí. Na tabuli napsal čas konce - 9:40, tedy celých 100 minut na splnění úloh. První úloha průnik jader dvou zobrazení, vrhám se se svým kuličkovým mečem na ni a přes malé numerické problémy se dostávám až k zajímavému výsledku. Inu vektor (-13,21,-3) je jistě krásný, hlavně nezapomenout dvojité závorky, báze je přeci soubor! ((-13,21,-3 ))!!! Drak jistě na takovouhle trapnou chybu čeká. Druhá úloha je složitější, průnik dvou úseček v závislosti na jistém parametru alfa. Takovýhle příklad jsem někdy viděl a tuším, že drak se snaží zavést protivníky do kouta. Jediná zajímavá cesta je prázdný průnik pro všechna alfa a to se potvrzuje. Zase bojuji spíše s numerickými problémy a chybějícími znaménky. Ale příklad mám, stírám pot z čela dva příklady by měly být dobře. Co nenáviděná soustava, jak drak tříhlavák zaútočí teď? Soustava není pěkná, vychází mi chvílemi opravdu ošklivé řešení, příklad i znovu přepisuji a vybírám si jiný první sloupec. Nakonec mám řešit obludnou rovnici o dvou parametrech. Útok odrážím jednoduše, ne však úplně správně. Napíšu, že pokud by jistá rovnice měla nějaké řešení, pak by celá soustava měla řešení o jisté dimenzi. Zbývá mi ještě dost času, tak různě opravuji numerické chybičky, pan asistent tiše sedí a čte si noviny. V jednu chvíli zvedne oči a ty se střetnou s mými. Dnes to bude ještě tvrdé. Konec, sbíráme.

První vteřiny po vybrání jsou hrozné, společně se snažíme dohodnout na výsledcích. Každému vyšlo něco jiného, jediný drakobijec Petr má druhý příklad snad stejně jako já. Svitla naděje. „Tak v jedenáct před mou pracovnou,“ odvětí Pytlíček.

Jdeme do pekárny občerstvit se na rozhodující boj. Cestou stále diskutujeme výsledky, nic moc. Ale u takhle těžkých příkladů nikdo nikdy neví. Já si ale vzpomínám, že podobné příklady byly v reportech na Krakenově blahořečeném FTP. (Později se to potvrzuje, písemka byla stejná jako zapsal Vašek Potoček roku 2005, takže přesné zadání sem psát nebudu.) Téměř hodinu sedíme ve studovně a listujeme skripty. Atmosféra s časem houstne, nervozita také.

Přesouváme se před pracovnu. Uhodí jedenáctá a pan asistent vystrčí hlavu ze dveří. Vzduch v chodbě by se dal krájet. Ozve se pro mě již legendární zařvání: „Vy vůbec neumíte počítat!“ Zaleze zpátky, ale vzápětí zahřmí jméno jednoho spolubojovníka. Ten zaleze dovnitř a my nevíme, co se děje. Mělo to úvodní vystoupení znamenat běžte domů, dneska se stínat hlavy drakům nebudou?

První drakobijec přišel o meč, drak na něm nenechal ani nitku neohořelou. Nám stačí jen říct, že měl skoro všechno dobře, jen samé numerické chyby a peláší s prázdnou domů. To nás zbylé zrovna neuklidní. Pytlíček znovu vykoukne a vyhlásí jméno dalšího bojovníka. Nejdřív přemýšlíme, jestli to bere podle abecedy, pak by ale některé vynechal, takže to zavrhujeme. Později se potvrzuje hypotéza, že pan asistent bere podle správnosti písemky. Když už vychází čtvrtý rytíř bez nároku na teoretickou část zkoušky, začínáme propadat skepsi, že dnešní statistika jde proti nám. Znamenalo to první vykřiknutí opravdu, že se dneska k teorii nikdo nedostane? Zbýváme tři.

Bijec Petr se odporoučí dovnitř a za minutku se vrací pro věci, prý je to na delší dobu. V duchu jásáme, snad budeme i my zbylí něco dokazovat. Teď už je jen otázkou, kdo začne. Ano, správně tušíte, že drak vyvolal jméno rytíře Dominika. Hrobové ticho na chodbě. Tam jen já. Posadím se naproti dveřím a čekám. Sám v tomhle vektorovém světě.

Pytlíček tentokrát nenakoukne do chodby, jen pootevře dvířka. „Tak pane Slabý, pojďte si.“ Připadám si jak u doktora. Všude bílé pláště. „Tak posaďte se sem.“
Mrknu rychle k Petrovi, dokazuje mojí oblíbenou větu 32. Sakra.
„Tak vy jste měl tu písemku dneska nejlepší.“
Uf, padá ze mne největší kámen. Důkazy budou.
„První příklad dobře…hm, druhý perfektně…“
Mno a teď přijde ta zatracená soustava…
„Tady to máte taky všechno dobře…“
Skoro by to chtělo říct, že jsem se o to 100 minut snažil…
„…akorát tady nemáte něco dopočítáno, proč?“
Pytlíčkovi se snažím vysvětlit, že to byla ošklivá rovnice, a tak jsem to nechal být a věnoval se raději prvním dvěma příkladům. Ten se ale nenechá odbýt a jako první úkol to musím dopočítat. Ještě mi ale vytýká, jak jsem si přeházel sloupce.
„No kdybyste si zvolil tenhle nebo tenhle druhý, to by také nebylo špatné, ale proč si proboha volíte ten třetí.“
Odpovídám, že se mi to přišlo nejlepší, ale že jsem to na jiný papír počítal jinak a vyšlo to stejně, a tak jsem nechal druhou verzi. Odpověď přijímá.

Snažím se dopočítat výsledku, ale jak mi pan asistent předhazuje, už první rovnici mám špatně. Půl hodiny hledám chybu a při tom vysvětluji svoje úpravy matice, načež po té půlhodince zjistím, že při prvním opisování jsem zahodil omylem mínus. Jako obvykle. „Už to mám, tady je chyba,“ vykřiknu, načež pan asistent odvětí, ať to teda už dopočítám.
To ale znamená přejet tu matici znova. Vše opravím, Pytlíček to ani pořádně nezkontroluje a vítězoslavně očekávám první úkol.

Pytlíček se postaví před svůj stůl, k nám tedy zády. Dívá se z okna a najednou se rychle otočí.
„Tak si rozmyslete, jak existence báze závisí na dimenzi prostoru.“
„Noo,“ otevřu pusu, ale rychleji zavřu a beru si čas na rozmyšlenou. Promýšlím všechny případy. Nulový prostor – nemá bázi; prostor o dimenzi, která je přirozené číslo – k členná báze; prostor o nekonečné dimenzi – u nás nemá bázi, protože ji máme definovanou jako konečný soubor a ten nemůže nagenerovat nekonečný prostor.
„Dobře. Teď mi dokažte, tu druhou variantu.“
Chvíli smolím důkaz. Použiju definici dimenze a vlastně napíšu, to co je ve skriptech.
„To je dobře, akorát vy tady předpokládáte, že ten soubor musí být LN. Dokažte to.“
Dokazuji, že soubor vzniklý z LN souboru obohacený o jeden vektor, který není jeho kombinací, je LN. Nejdřív chci podle definice, to se mi ale nelíbí, tak použiji větu čtyři – v LZ souboru jde nějaký vektor nakombinovat z předchozích. Zapomínám ale připsat důležité tvrzení jedna – první vektor není nulový.
„No tohle ale není pravda.“
Podívám se na to. „No předpokládám, že první vektor ale není nulový.“
„Správě, ano. Tak to bychom měli. Ale vy jste to chtěl původně z definice, tak to ukažte.“
Jdu na to z definice ale sporem. „To máte dobře, ale přímo to jde přeci taky.“
Mezitím se drak zmenšuje hodnocení spolubojovníkům. Drakobijec Dominik nakonec odmítá zkoušení na E a odchází.
Pytlíček vymýšlí další zadání. Opět u svého stolu a opět stejně neosobně.
„Tak řekněme, že máme prostor Vn, podprostor P o dimP=k a takovouhle množinu M. Je to množina všech variet z V, které mají stejné zaměření a to P.“
Tak to nevypadá tak hrůzostrašně, hlavně už to je věc, která není ve skriptech. Tady už nejde o přežití, ale o známku, jen mi bleskne hlavou, ale spíš si uvědomuji, že mě ta zkouška docela začíná bavit.
„Co potřebujeme, aby ta množina byla vektorovým prostorem?“
„Musí být neprázdná…“ odvětím.
„Je neprázdná?“
„Je v ní nulový…“ kuňkám, ale spíš sbírám čas, protože nevím.
„Cože?“
Dochází mi, že je tam určitě jedna varieta - přímo to P. „Pé.“
„Správně, co dál potřebujeme.“
„Operace.“
„Sčítání standartně. Jak byste navrhoval násobení.“
No jen se mi vybaví, že násobit nulou podprostor by nebyl dobrý nápad. „Vynásobíme jenom vektor posunutí?“
„Dobře. Co dál?“
„Uzavřenost operací.“
„Je to uzavřené vůči operacím?“
„No je, protože vždy to bude zase varieta s tím samým podprostorem.“
„Ano a dál?“
„Dál osm axiomů.“ Tyhle axiomy já opravdu nemám rád, vždy tam něco pokazím. Trnu hrůzou, že přesně to bude chtít.
„To byste asi uměl dokázat, snad jen axiom S3, co je nulovým prvkem?“
Rozmýšlím se, ale je zřejmé, že je to podprostor P. „Pé.“
Pytlíček kýve hlavou, je to dobré. „Tak pane Slabý, řekněme, že je všechny ověříme a oni opravdu platí, to je přímo z definice. Co myslíte, že po vás teď budu chtít?“
Takovou otázku jsem teda nečekal. „To opravdu netuším.“
„Tak mi určete dimezi tohoto prostoru.“
Fíha, já, takový antiteoretik mám dokazovat takovouhle věc. No ale začnu nad tím koumat.

Pytlíček pak na kolegu Petra: „No jak jsem nabízel céčko, tak teď už můžu nabídnout jen déčko nebo spíš éčko.“ Petr odmítá, přijde jindy.

Zbývám tedy já, dobije někdo dračí sluji? Dobiju ji já?

„Tak pane Slabý, jak to dokážete?“
„Asi najdu bázi.“
„Hm.“
Dál nemá smysl rozepisovat, jakými peripetiemi jsem procházel, občas jsem řekl nějakou blbost, občas mi Pytlíček pomohl. Ale nakonec přeci jen řekl klasickou větu. „Věta je tak zcela dokázána.“ No bez něj bych to nedal.
Následuje další dotaz. „Co můžete říct o téhle množině. M je množina takových x z V, že funkcionál na x je rovno alfa.“
„To je varieta,“ vypálím.
„To není pravda.“
„…samozřejmě pokud to není nulový funkcionál!“
„Tak to ano. A co to je v tomto případě.“
Je zřejmé, že pokud je alfa rovno nule tak je to celý prostor V a pokud není, tak je to prázdná množina. Pan asistent spokojen s touto odpovědí, přistoupil jen k tomu, že musím dokázat, proč je to tedy varieta. Začal jsem tedy hovořit cosi o řešení lineárních rovnic a došlo i na mou oblíbenou větu 32.
„Dobře,“ řekl a odešel ke stolu. Já jsem se nadechl a očekával další důkazek. Kéž by to byla má oblíbená věta 58…Nebyla…

Pan asistent vzal do ruky tužku a povídá tu krásnou a v jeho podání naprosto neoposlouchatelnou větu. „Tak mi dejte index. Vy tak zbytečně zmatkujete. A přitom se hned dobře opravíte.“ Tak to je dobré, hůř než C to dle mého soudu nebylo. Skoro věčnost se díval na hodinky a hledal datum. A pak začal psát i to stříškovité písmeno A. Poděkoval jsem a odešel jsem.

Drakovu sluji jsem dobyl a odnesl si i nějakou trošku inkoustu. V tu chvíli nejkrásnější trošku inkoustu co může existovat v tomhle prostoru.